Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f′（x），證明：當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）若對(duì)任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x+1，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）由g（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），得到g'（x）=e^x（x-a+2），從而函數(shù)g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增，再代入特殊值進(jìn)而證得結(jié)論成立；
（Ⅲ）對(duì)任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，即為（x-a）e^x+（a-1）x+a≤0對(duì)任意的x∈[0，2]恒成立，顯然x=0時(shí)，0≤0成立；當(dāng)0＜x≤2時(shí)，（xe^x-x）+a（1+x-e^x）≤0成立，判斷1+x-e^x＜0，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得最大值即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x+1，
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=xe^x，
可得y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為e，切點(diǎn)（1，1），
即有切線的方程為y-1=e（x-1），
即為y=ex+1-e；
（Ⅱ）證明：g（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），
∴g'（x）=e^x（x-a+2），
當(dāng)g'（x）＜0時(shí)，x＜a-2；當(dāng)g'（x）＞0時(shí)，x＞a-2
∵a＞2，
∴函數(shù)g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增，
又∵g（0）=0，g（a）=e^a+a-1＞0，
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）對(duì)任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，
即為（x-a）e^x+（a-1）x+a≤0對(duì)任意的x∈[0，2]恒成立，
顯然x=0時(shí)，0≤0成立；
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，（xe^x-x）+a（1+x-e^x）≤0成立，
由1+x-e^x的導(dǎo)數(shù)為1-e^x，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，1-e^x＜0，
函數(shù)1+x-e^x遞減，即有1+x-e^x＜0，
則a≥$\frac{x-x{e}^{x}}{1+x-{e}^{x}}$在0＜x≤2恒成立，
令h（x）=$\frac{x-x{e}^{x}}{1+x-{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=$\frac{（1-{e}^{x}）^{2}-{x}^{2}{e}^{x}}{（1+x-{e}^{x}）^{2}}$，
由（1-e^x）²-x²e^x的導(dǎo)數(shù)為e^x（2e^x-2-x²-2x），
由2e^x-2-x²-2x的導(dǎo)數(shù)為2e^x-2x-2=2（e^x-x-1），
由e^x-x-1的導(dǎo)數(shù)為e^x-1，在x＞0時(shí)，e^x-x-1遞增，且大于0，
則2e^x-2-x²-2x遞增，且大于0；即有（1-e^x）²-x²e^x遞增，大于0；
則h（x）在（0，2]遞增，且有h（x）≤h（2）=$\frac{2-2{e}^{2}}{3-{e}^{2}}$，
故a的范圍是a≥$\frac{2-2{e}^{2}}{3-{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性、最值，考查函數(shù)零點(diǎn)的問題的解法，同時(shí)考查不等式成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．