Question

4．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ y≤2x\\ x+y≤3\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=mx+y的最大值為5，則m的值為$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，分類討論得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ y≤2x\\ x+y≤3\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得B（1，2），
化目標(biāo)函數(shù)z=mx+y為y=-mx+z，
當(dāng)-m≤-1，即m≥1時，直線過A時在y軸上的截距最大，z有最大值為$\frac{3}{2}m+\frac{3}{2}=5$，解得m=$\frac{7}{3}$；
當(dāng)-1＜-m≤2，即-2≤m＜1時，直線過B時在y軸上的截距最大，z有最大值為m+2=5，解得m=3（舍）．
∴m=$\frac{7}{3}$．
故答案為：$\frac{7}{3}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．