Question

9．已知定義在區(qū)間[0，+∞）上的函數(shù)y=f（x）滿足下列三個(gè)條件：
①對任意的x＞0，y＞0，總有f[x•f（y）]•f（y）=f（x+y）成立；
②f（2）=0；
③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，總有f（x）≠0．
則f（3）+f（$\frac{1}{2}$）的值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 可令x=1，y=2，求得f（3）=0，再令x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，則f[$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）]•f（$\frac{1}{2}$）=f（2），結(jié)合條件②③，即可得到f（$\frac{1}{2}$）．

解答 解：令x=1，y=2，由f[x•f（y）]•f（y）=f（x+y）成立，
即有f[f（2）]•f（2）=f（1+2），
又f（2）=0，則f（3）=0，
再令x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，則f[$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）]•f（$\frac{1}{2}$）=f（2），
又f（2）=0，且當(dāng)0＜x＜2時(shí)，總有f（x）≠0，
則有f[$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）]=0=f（2），
即有$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=2，
即有f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{3}$，
則f（3）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)值，注意運(yùn)用賦值法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．