Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{8}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）如果對于區(qū)間（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$）上的任意一個x，都有cos²（2x+φ）+asin（2x+φ）+2≥1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得φ可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由題意可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈（0，1]，由g（x）=-${[sin（2x+\frac{π}{4}）-\frac{a}{2}]}^{2}$+3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得g（x）的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{8}$，
可得sin（2•$\frac{π}{8}$+φ）=±1，∴φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{4}$，故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
再根據(jù)x∈[0，π]，可得增區(qū)間為[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]．
（2）由題意可得當(dāng)x∈（-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$）時，2x+$\frac{π}{4}$∈（0，$\frac{3π}{4}$），∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈（0，1]．
函數(shù)g（x）=cos²（2x+φ）+asin（2x+φ）+2=1-${sin}^{2}（2x+\frac{π}{4}）$+asin（2x+$\frac{π}{4}$）+2=-${[sin（2x+\frac{π}{4}）-\frac{a}{2}]}^{2}$+3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
①當(dāng)$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$時，即a≤1時，則當(dāng)sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1時，g（x）最小為a+2，
再根據(jù)g（x）的最小值大于或等于1，可得a+2≥1，求得a≥-1，故a的范圍是[-1，1]．
②當(dāng)$\frac{a}{2}$＞$\frac{1}{2}$時，則當(dāng)sin（2x+$\frac{π}{4}$）趨于零時，g（x）趨于最小3，滿足條件，故a的范圍是（1，+∞）．
綜上可得，a的范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．