Question

20．平面xOy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（$\sqrt{2}$，0）的距離與它到直線x=2$\sqrt{2}$的距離之比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y=2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）先表示出線段AB長度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答 解�。�1）設(shè)P（x，y），則
∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（$\sqrt{2}$，0）的距離與它到直線x=2$\sqrt{2}$的距離之比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2\sqrt{2}|}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
化簡可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0．
因?yàn)镺A⊥OB，所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即tx₀+2y₀=0，解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
又x₀²+2y₀²=4，
所以|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²
=（x₀-t）²+（y₀-2）²
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀²≤4）．
因?yàn)?\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4（0＜x₀²≤4），且當(dāng)x₀²=4時(shí)等號(hào)成立，
所以|AB|²≥8．
故線段AB長度的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．