Question

7．設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個單位向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$．
（1）已知$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，求k的值；
（2）若A，B，D三點共線，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據 $\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，以及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow{a}$|=1=|$\overrightarrow$|，求得k的值．
（2）由題意可得必存在λ，使$\overrightarrow{AB}$=λ•$\overrightarrow{BD}$，即2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$=λ（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），由此求得k的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
再根據|$\overrightarrow{a}$|=1=|$\overrightarrow$|，以及 $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴2${\overrightarrow{a}}^{2}$+k${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴2+k=0，
∴k=-2．
（2）由已A，B，D三點共線，可得必存在λ，使$\overrightarrow{AB}$=λ•$\overrightarrow{BD}$．
又 $\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$=λ（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=2λ}\\{k=-λ}\end{array}\right.$，
求得k=-1，λ=1．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法及其幾何意義，平面向量基本定理的應用，屬于基礎題．