Question

17．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁C₁與B₁D₁的交點，AB=BC=$\sqrt{2}$，AA₁=1．
（1）求證：AE∥平面C₁BD；
（2）求證：CE⊥平面C₁BD；
（3）求二面角A-BC₁-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC與BD相交于O點，連C₁O，推導(dǎo)出AEC₁O是平行四邊形，從而AE∥OC₁，由此能證明AE∥平面C₁BD．
（2）法一：推導(dǎo)出CE⊥OC₁，BD⊥AC，BD⊥AA₁，從而BD⊥CE，由此能證明CE⊥平面C₁BD．
法二：以AB，AD，AA₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CE⊥平面C₁BD．
（3）求出平面BC₁D的法向量和平面ABC₁的法向量，利用向量法能求出二面角A-BC₁-D的大�。�

解答 證明：（1）設(shè)AC與BD相交于O點，連C₁O，
∵AC∥A₁C₁，AO=EC₁
∴AEC₁O是平行四邊形，AE∥OC₁（2分）
又OC₁在平面C₁BD內(nèi)，∴AE∥平面C₁BD．（4分）
（2）證法一：在長方形ABCD中，E是A₁C₁與B₁D₁的交點，AB=BC=$\sqrt{2}$，AA₁=1．
∴AC=2，OC=1，故OCC₁E是正方形
∴CE⊥OC₁（5分）
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又BD⊥AA₁，AC、AA₁在平面ACC₁A₁內(nèi)
∴BD⊥平面ACC₁A₁，故BD⊥CE（6分）
∵OC₁、BD在平面C₁BD內(nèi)
∴CE⊥平面C₁BD．（8分）
證法二：以AB，AD，AA₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，
則B（$\sqrt{2}$，0，0），C（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），D（0，$\sqrt{2}$，0），C₁（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，1），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）（5分）
$\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，$\sqrt{2}$，1），（6分）
∵$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{BD}=0，\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=0$，（7分）
∴CE⊥BD，CE⊥BC₁，
∵BC∩BC₁，∴CE⊥平面C₁BD．
∴CE⊥BD，CE⊥BC₁
BC₁、BD在平面C₁BD內(nèi)，∴CE⊥平面C₁BD．（8分）
解：（3）由（2）知，$\overrightarrow{CE}$是平面BC₁D的法向量，$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，0，0），
設(shè)平面ABC₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=\sqrt{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}=（0，-1，\sqrt{2}）$，（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又二面角A-BC₁-D為銳角，
∴二面角A-BC₁-D的大小為$\frac{π}{6}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考百二面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．