Question

12．已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其長軸的左端點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為2-$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l為圓x²+y²=1上的一條切線，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{a-c=2-\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，求得a及c的值，由a²=b²+c²，即可求得b的值，求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值，當(dāng)斜率存在，設(shè)出直線方程，由直線l與圓x²+y²=1相切，求得n與k的關(guān)系，并將直線方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁•x₂，并求得y₁•y₂，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，代入即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{a-c=2-\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$，
由a²=b²+c²，
∴b=$\sqrt{2}$，
故橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，l：x=±1，A（1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
或A（-1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B（-1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程l：y=kx+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線AB與圓x²+b²=1相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•丨n丨=1，解得n²=1+k²，
將直線方程代入橢圓方程整理得：（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{-4kn}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{n}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=k²x₁•x₂+kn（x₁+x₂）+n²，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，
=（1+k²）x₁•x₂+kn（x₁+x₂）+n²，
=$\frac{3{n}^{2}-4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
=-$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$，
=$\frac{1}{\frac{1}{1+{k}^{2}}-2}$∈[-1，-$\frac{1}{2}$），
綜上可知：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍∈[-1，-$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．