Question

7．在△ABC中，已知sinA-cosA=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，AC=2，AB=4，求角A的度數(shù)和△ABC的面積．

Answer 1

分析 由兩角差的正弦公式化簡$sinA-cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角A的度數(shù)；利用兩角和的正弦公式求出sianA，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：由題意得，$sinA-cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\sqrt{2}sin（A-\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$sin（A-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$A-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}$，則A=$\frac{5π}{12}$，
∴sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∵AC=2，AB=4，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}•AC•ABsinA$=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
綜上，角A的度數(shù)是$\frac{5π}{12}$；△ABC的面積是$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩角和與差的正弦公式，三角形的面積公式，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡、變形能力．