Question

13．已知△ABC的三頂點(diǎn)是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）．直線l平行于AB，交AC，BC分別于E，F(xiàn)，△CEF的面積是△CAB面積的$\frac{1}{4}$．求：
（ 1）直線AB邊上的高所在直線的方程．
（2）直線l所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）先由斜率公式求出斜率，然后點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程即可；
（2）由平行和斜率公式易得直線EF的斜率為$\frac{1}{2}$，再由面積易得E是CA的中點(diǎn)，可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可．

解答 解：（1）∵A（-1，-1），B（3，1），C（1，6），
∴k_AB=$\frac{1+1}{3+1}=\frac{1}{2}$．
∴AB邊上的高所在的直線的斜率k=$-\frac{1}{{k}_{AB}}$=-2．
∴AB邊上的高所在的直線方程為：y-6=-2（x-1），即2x+y-8=0；
（2）由（1）知直線AB的斜率k_AB=$\frac{1}{2}$，
∵EF∥AB，∴直線EF的斜率為$\frac{1}{2}$．
∵△CEF的面積是△CAB面積的$\frac{1}{4}$，
∴E是CA的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，$\frac{5}{2}$）．
∴直線EF的方程是 y-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$x，即x-2y+5=0．
∴直線l所在直線的方程為：x-2y+5=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的一般式方程，考查了直線斜率公式以及直線方程的求法，涉及平行關(guān)系和中點(diǎn)公式，屬于中檔題．