Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x²+c的圖象過點（0，1），且在點（2，f（2））處的切線方程是6x-3y-7=0．
（1）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）求函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1所圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）將（0，1）代入f（x），求出c的值，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的切線求出a的值，從而求出函數(shù)的表達(dá)式，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值即可；
（2）聯(lián)立方程組，求出端點值，根據(jù)定積分的應(yīng)用求出圖形的面積即可．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x²+c的圖象過點（0，1），所以c=1，
所以f（x）=ax³-$\frac{1}{2}$x²+1，f′（x）=3ax²-x，
又函數(shù)f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是6x-3y-7=0，
所以f′（2）=12a-2=2，解得：a=$\frac{1}{3}$，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+1，
f′（x）=x²-x，令f′（x）=x²-x=0，得x=0，或1，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=0時，f（x）取得極大值f（0）=1，
當(dāng)x=1時，f（x）取得極小值f（1）=$\frac{5}{6}$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y={\frac{1}{3}x}^{3}-{\frac{1}{2}x}^{2}+1}\\{y=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以所求的面積為：
${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（1-f（x））dx=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²）dx=（-$\frac{1}{12}$x⁴+$\frac{1}{6}$x³）${|}_{0}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{9}{64}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及定積分的應(yīng)用，是一道中檔題．