Question

【題目】已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).

(1)證明：直線l過定點；

(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) [0，＋∞)；(3)4，x－2y＋4＝0.,

【解析】

(1)將直線的方程整理為斜截式的形式后,可知其過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，則其斜率與其在軸上的截距均非負，此時可列出關于的不等式組，從而求得的取值范圍；(3)根據(jù)直線的方程可求出點與的坐標，進而用含的式子表示出的面積，利用均值不等式可求出的面積最小時的值，從而得到的面積的最小值與此時直線的方程.

(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令 解得 ,

∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(－2,1)．

(2)由方程知，當k≠0時直線在x軸上的截距為－ ，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有 解得k＞0；

當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞).

(3)由題意可知k≠0，再由l的方程，

得A ，B(0,1＋2k).

依題意得解得k＞0.

∵S＝ ·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|

＝·＝

≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的條件是k＞0且4k＝ ，

即k＝，∴Smin＝4，

此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.