Question

9．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點．
（2）若定點P（1，1）分弦AB為$\frac{AP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，求此直線l 的方程．
（3）求弦AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）將直線l的方程變形提出m，根據(jù)直線方程的斜截式，求出直線恒過點（1，1），將（1，1）代入圓方程的左邊，判斷出點在圓內(nèi)部，得證．
（2）作出輔助線，利用圓的弦割線定理求出PA的長，求出A的坐標，又直線過（1，0）點，利用直線方程的兩點式寫出直線的方程．
（3）將直線l的方程與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理得到兩個交點坐標的和，利用中點坐標公式求出AB的中點，消去m得到弦AB的中點M的軌跡方程．

解答 （1）證明：∵直線L：mx-y+1-m=0即為y=m（x-1）+1
∴直線l恒過（1，1）
∵1²+（1-1）²=1＜5
∴（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部
綜上，對任意的m∈R，直線L與圓C一定有兩個不同的交點
（2）解：∵直線l：mx-y+1-m=0，y-1=m（x-1），
∴直線l過定點（1，1）．
作平行于x軸，且過圓心（0，1）的直線，交圓于MN兩點，顯然，PM=$\sqrt{5}$-1，PN=$\sqrt{5}$+1，
由弦割線定理，PA•PB=PA•2PA=2PA²=PM•PN=4
∴PA²=2．
∵PA²=（x-1）²+（y-1）²=2，
又因為A點在圓上，A點坐標滿足圓方程x²+（y-1）²=5，
聯(lián)立方程組，解得，x=2，
代入解得，y=0或2，
∴A（2，0）或A（2，2）．
由兩點確定直線，得，y-1=$\frac{0-1}{2-1}$•（x-1）=-（x-1），得y+x-2=0直線一條；
y-1=$\frac{2-1}{2-1}$•（x-1）=x-1，得，y=x另一條直線．
∴此時L的方程為x-y=0或x+y-2=0
（3）解：圓C：x²+（y-1）²=5  ①
直線l：mx-y+1-m=0②
聯(lián)立①②得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{2（{m}^{2}-m+1）}{1+{m}^{2}}$
設弦AB的中點M為（x，y）則有x=$\frac{{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，y=$\frac{{m}^{2}-m+1}{1+{m}^{2}}$
則y=1-$\frac{m}{1+{m}^{2}}$，
∴$\frac{m}{1+{m}^{2}}$=1-y，$\frac{m}{1+{m}^{2}}$=x兩式相除得，m=$\frac{x}{1-y}$
代入第一式即消去m得到x²+y²-x-2y+1=0
故弦AB的中點M的軌跡方程為x²+y²-x-2y+1=0 （x≠1）

點評 判斷直線與圓的位置關系，一般利用圓心與直線的距離與半徑的大小關系加以判斷，有時也可轉(zhuǎn)化為直線恒過的點圓圓的位置關系；解決直線與圓的相交的弦的中點問題，一般將直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理．