Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_l=1，公差d＞0，且{a_n}的第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{n（{a_n}+5）}}（n∈{N^*}）$，記S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求S_n并說明是否存在最大的整數(shù)t，使得對(duì)任意的n均有${S_n}＞\frac{t}{36}$總成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}的第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)成等比數(shù)列，可得$（{a}_{1}+4d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+13d），化簡(jiǎn)整理即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{n（{a_n}+5）}}（n∈{N^*}）$，b_n=$\frac{1}{n（2n+4）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”、不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}的第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)成等比數(shù)列，
∴$（{a}_{1}+4d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+13d），整理得2a₁d=d²，
∴2d=d²，∵d＞0，∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）${b_n}=\frac{1}{{n（{a_n}+5）}}（n∈{N^*}）$，
∴b_n=$\frac{1}{n（2n+4）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴S_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$≥$\frac{1}{4}（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{6}$．
假設(shè)存在最大的整數(shù)t，使得對(duì)任意的n均有${S_n}＞\frac{t}{36}$總成立，
則$\frac{t}{36}＜\frac{1}{6}$，解得t＜6．
∴適合不等式的最大整數(shù)為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．