Question

如果定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個不等的實數(shù)x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）為“Z函數(shù)”給出函數(shù)：
①y=-x³+1，②y=3x-2sinx-2cosx③y=

ln|x|，x≠0 0，x=0

④y=

x2+4x，x≥0 -x2+x，x＜0

．
以上函數(shù)為“Z函數(shù)”的序號為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①函數(shù)y=-x³+1在定義域上單調(diào)遞減．不滿足條件．
②y=3x-2sinx-2cosx，y′=3-2cosx+2sinx=3+2（sinx-cox）=3-2

2

sin（x-

π

4

）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
③f（x）=y=

ln|x|，x≠0 0，x=0

，當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
④y=

x2+4x，x≥0 -x2+x，x＜0

，當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
故答案為：②

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．