Question

8．在一個口袋中裝有3個白球，4個黑球，3個紅球，一次從中摸出3個球．
（1）求摸出的3個球顏色不全相同的概率；
（2）規(guī)定摸出1個白球、1個黑球、1個紅球分別得1分、2分、3分，設X為摸出3個球的得分之和，求隨機變量X≥6的概率分布及數(shù)學期望E（X≥6）．

Answer 1

分析 （1）記“摸出的3個球顏色不全相同”為事件的A，利用對立事件概率計算公式能求出摸出的3個球顏色不全相同的概率．
（2）隨機變量X≥6的可能取值為6，7，8，9，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X≥6的概率分布及數(shù)學期望E（X≥6）．

解答 解：（1）記“摸出的3個球顏色不全相同”為事件的A，
則其概率為$P（A）=1-\frac{C_3^3+C_4^3+C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{19}{20}$．  …（4分）
∴摸出的3個球顏色不全相同的概率為$\frac{19}{20}$．…（5分）
（2）隨機變量X≥6的可能取值為6，7，8，9，
$P（X=6）=\frac{C_4^3+C_3^1C_4^1C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{3}$，
$P（X=7）=\frac{C_3^1C_3^2+C_4^2C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{9}{40}$，
$P（X=8）=\frac{C_4^1C_3^2}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{10}$，
$P（X=9）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{120}$． …（12分）
∴隨機變量X的分布列為

X	6	7	8	9
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{120}$

∴$E（X≥6）=6×\frac{1}{3}+7×\frac{9}{40}+8×\frac{1}{10}+9×\frac{1}{120}=\frac{89}{20}$    …（14分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的性質及分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．