Question

11．如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)2千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M，N，從觀景臺(tái)P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測(cè)得AM=2千米，AN=2千米．
（1）求線段MN的長(zhǎng)度；
（2）若∠MPN=60°，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值．

Answer 1

分析 （1）在△AMN中，利用余弦定理得到MN；
（2）設(shè)∠PMN=α，得到∠PNM=120°-α，利用正弦定理將PM+PN用α表示，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求最值．

解答 解：（1）在△AMN中，由余弦定理得，MN²=AM²+AN²-2AM•ANcos120°…（2分）
=${2^2}+{2^2}-2×2×2×（-\frac{1}{2}）=12$，
所以$MN=2\sqrt{3}$千米．                              …（4分）
（2）設(shè)∠PMN=α，因?yàn)椤螹PN=60°，所以∠PNM=120°-α
在△PMN中，由正弦定理得，$\frac{MN}{sin∠MPN}=\frac{PM}{{sin（{{120}^0}-α）}}=\frac{PN}{sinα}$．…（6分）
因?yàn)?\frac{MN}{sin∠MPN}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin{{60}^0}}}=4$，
所以PM=4sin（120⁰-α），PN=4sinα…（8分）
因此PM+PN=4sin（120⁰-α）+4sinα…（10分）
=$4（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα）+4sinα$
=$6sinα+2\sqrt{3}cosα$=$4\sqrt{3}sin（α+{30^0}）$…（13分）
因?yàn)?°＜α＜120°，所以30°＜α+30°＜150°．
所以當(dāng)α+30⁰=90⁰，即α=60⁰時(shí)，PM+PN取到最大值$4\sqrt{3}$．…（15分）
答：兩條觀光線路距離之和的最大值為$4\sqrt{3}$千米．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用；關(guān)鍵是正確建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形．