Question

16．在平行四邊形ABCD中，AB=10$\sqrt{3}$，BC=CD=AD=10，設(shè)M為△ABD的面積，N為△BCD的面積，問：當(dāng)M²+N²為最大時(shí)，△ABD是怎樣的三角形？

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，根據(jù)余弦定理可證得cosC=$\sqrt{3}$cosA-1，然后根據(jù)三角形的面積公式及sin²α+cos²α=1，將△ABD和△BCD的面積的平方和用cosA的表達(dá)式表示，然后運(yùn)用配方法可得當(dāng)cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$時(shí)，△ABD和△BCD的面積的平方和最大，然后運(yùn)用三角函數(shù)及勾股定理依次求出AE、BE、DE、BD的值，就可證到△ABD為等腰三角形．

解答 解：△ABD為等腰三角形．
理由如下：
過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，如圖，
，
則有DE=AD•sinA=10sinA，DF=DC•sinC=10sinC．
根據(jù)余弦定理可得：
DB²=AD²+AB²-2AD•AB•cosA=100+300-200$\sqrt{3}$cosA=400-200$\sqrt{3}$cosA，
DB²=DC²+BC²-2DC•BC•cosC=100+100-200cosC=200-200cosC，
∴400-200$\sqrt{3}$cosA=200-200cosC，
∴cosC=$\sqrt{3}$cosA-1．
∵AB=10$\sqrt{3}$，BC=CD=DA=10，
∴（S_△ABD）²+（S_△DBC）²=（$\frac{1}{2}$AB•DE）²+（$\frac{1}{2}$BC•DF）²
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•sinA•100）²+（$\frac{1}{2}$sinC•100）²=100（$\frac{3}{4}$sin²A+$\frac{1}{4}$sin²C）．
=100[$\frac{3}{4}$（1-cos²A）+$\frac{1}{4}$（1-cos²C）]=100[1-$\frac{3}{4}$cos²A-$\frac{1}{4}$cos²C]
=100[1-$\frac{3}{4}$cos²A-$\frac{1}{4}$（$\sqrt{3}$cosA-1）²]=100[-$\frac{3}{2}$cos²A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{3}{4}$
=-$\frac{3}{2}$（cos²A-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosA）+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{2}$[（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²-$\frac{1}{12}$]+$\frac{3}{4}$]
=100[-$\frac{3}{2}$（cosA-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）²+$\frac{7}{8}$]
∴當(dāng)cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$時(shí)，（S_△ABD）²+（S_△DBC）²取到最大值為$\frac{7}{8}$×100=$\frac{175}{2}$，
此時(shí)AE=AD•cosA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×10=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，BE=AB-AE=，
DE=$\sqrt{{AD}^{2}{-AE}^{2}}$=10$\sqrt{\frac{11}{12}}$，DB=$\sqrt{{DE}^{2}{+BE}^{2}}$=10$\sqrt{3}$，
∴DB=AB=10$\sqrt{3}$，
∴△ABD為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理、三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)，還用到了公式sin²α+cos²α=1，運(yùn)用配方法是解決本題的關(guān)鍵．