Question

17．過點H（1，-1）作拋物線Γ：x²=4y的兩條切線HA、HB，切點分別為A，B，則以線段AB為直徑的圓方程為${（x-1）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 求出過點A的切線方程，H（1，-1）代入可得x₁-2y₁+2=0，同理x₂-2y₂+2=0，從而得到直線AB的方程，與拋物線Γ：x²=4y聯(lián)立，可得以線段AB為直徑的圓方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵拋物線x²=4y，∴y′=$\frac{1}{2}$x，
∴過點A的切線方程為y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），即x₁x-2y-2y₁=0．
H（1，-1）代入可得x₁-2y₁+2=0，
同理x₂-2y₂+2=0，
∴A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿足方程x-2y+2=0，即為直線AB的方程，
與拋物線Γ：x²=4y聯(lián)立，可得x²-2x-4=0，∴AB的中點坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$），
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}•\sqrt{4+16}$=5
∴以線段AB為直徑的圓方程為${（x-1）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{25}{4}$，
故答案為${（x-1）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{25}{4}$．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查以線段AB為直徑的圓方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，求出直線AB的方程是關(guān)鍵．