Question

2．若△OAB是以O(shè)為直角頂點的三角形，且面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$，$\overrightarrow$=$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$，$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為13-2$\sqrt{6\sqrt{6}}$．

Answer 1

分析 以O(shè)A所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸建立直角坐標系，設(shè)點A（m，0）、B（0，n），由S_△OAB=$\frac{1}{2}$mn=$\frac{\sqrt{6}}{2}$可得mn的值，從而利用不等式可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值．

解答 解：以O(shè)A所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸建立直角坐標系，

則$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），P（2，3），
設(shè)A（m，0），B（0，n），則m＞0，n＞0．
故$\overrightarrow{PA}$=（m-2，-3），$\overrightarrow{PB}$=（-2，n-3），
又S_△OAB=$\frac{1}{2}$mn=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以mn=$\sqrt{6}$．
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2（m-2）-3（n-3）=13-（2m+3n）≤13-2$\sqrt{6mn}$（當且僅當2m=3n，即n=$\sqrt{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$時取“=”）．
所以，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤13-2$\sqrt{6\sqrt{6}}$．
故答案為：13-2$\sqrt{6\sqrt{6}}$．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，以O(shè)A為x軸，OB為y軸建立直角坐標系是關(guān)鍵，考查平面向量的坐標運算與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．