Question

已知函數(shù)f（x²+1）=x（x≥0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法求函數(shù)的解析式；
（2）判斷f（x）=

x-1

在[1，+∞）上是增函數(shù)，五步證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）令x²+1=t，t≥1，
則x=

t2-1

，
故f（t）=

t2-1

，
故f（x）=

x-1

，（x≥1）；
（2）f（x）=

x-1

在[1，+∞）上是增函數(shù)，
證明如下，
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=

x1-1

-

x2-1

=

x1-x2

x1-1 + x2-1

；
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式的求法及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．