Question

10．已知函數(shù)f（x）=lg（x-1）+$\frac{1}{\sqrt{32-{2}^{x}}}$的定義域是集合A，函數(shù)g（x）=-4^x+2^x+1+3的值域是集合B．
（1）求集合A，B；
（2）設(shè)集合C={x|2m＜x＜m+2}，若C⊆（A∩B），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{32-{2}^{x}＞0}\end{array}\right.$，從而求集合A，配方法得g（x）=-4^x+2^x+1+3=-（2^x-1）²+4，從而求集合B；
（2）化簡A∩B=（1，4]；從而討論集合C以確定實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{32-{2}^{x}＞0}\end{array}\right.$，
解得，1＜x＜5；
故A=（1，5）；
g（x）=-4^x+2^x+1+3=-（2^x-1）²+4，
故B=（-∞，4]．
（2）由（1）知，A∩B=（1，4]；
若C=∅，即2m≥m+2，即m≥2時，
C⊆（A∩B）成立；
若m＜2，由C⊆（A∩B）知，
1≤2m＜m+2≤4，
解得，$\frac{1}{2}$≤m＜2；
綜上可得，m≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域與值域的求法及集合的化簡與運算，同時考查了集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．