Question

18．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線l與直線l′：x+$\sqrt{3}$y=0垂直，垂足為O，過C的右焦點(diǎn)F分別作l，l′的垂線，垂足分別為N，P，若四邊形ONFP的面積為$\sqrt{3}$，則雙曲線C的方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線的斜率為$\sqrt{3}$，則$\frac{a}=\sqrt{3}$，四邊ONFP的面積為$\left|{FP}\right|•\left|{FN}\right|=\frac{c}{2}•b=\sqrt{3}$，結(jié)合a²+b²=c²，求出a²=1，b²=3，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線l與直線$l'：x+\sqrt{3}y=0$垂直，
所以雙曲線的漸近線的斜率為$\sqrt{3}$，則$\frac{a}=\sqrt{3}$．①
由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（c，0），
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得$\left|{FP}\right|=\frac{\left|c\right|}{{\sqrt{{1^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}}}}=\frac{c}{2}$，
又$\left|{FN}\right|=\frac{{\left|{bc}\right|}}{{\sqrt{{b^2}+{{（{-a}）}^2}}}}=b$，
所以四邊ONFP的面積為$\left|{FP}\right|•\left|{FN}\right|=\frac{c}{2}•b=\sqrt{3}$．②
結(jié)合a²+b²=c²，③
聯(lián)立①②③，解得a²=1，b²=3．
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故答案為：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)雙曲線的漸近線與方程，考查四邊ONFP的面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．