Question

18．已知圓O：x²+y²=4交x軸于A，B兩點，點P是直線x=4上一點，直線PA，PB分別交圓O于點N，M．
（1）若點N（0，2），求點M的坐標；
（2）探究直線MN是否過定點，若過定點，求出該定點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）寫出直線AN的方程，求出點P的坐標，寫出直線BP的方程，由直線BP與圓的方程組成方程組求出點M的坐標；
（2）設出點P，寫出直線AN的方程，與圓的方程聯(lián)立求出點N的坐標，寫出直線BM的方程，與圓的方程聯(lián)立求出點M的坐標，從而求出直線MN過定點．

解答 解：（1）因為點N（0，2），A（-2，0），
所以直線AN的方程為y=x+2，
令x=4，則P（4，6），
又因為B（2，0），
所以直線BP的方程為y=3（x-2），
由y=3（x-2）及x²+y²=4，
解得$M（\frac{8}{5}，-\frac{6}{5}）$；
（2）設P（4，t），因為點A（-2，0），
所以直線AN的方程為$y=\frac{t}{6}（x+2）$，
由$y=\frac{t}{6}（x+2）$及x²+y²=4，解得$N（\frac{{72-2{t^2}}}{{36+{t^2}}}，\frac{24t}{{36+{t^2}}}）$，
因為點B（2，0），所以直線BM的方程為$y=\frac{t}{2}（x-2）$，
由$y=\frac{t}{2}（x-2）$及x²+y²=4，解得$M（\frac{{2{t^2}-8}}{{4+{t^2}}}，\frac{-8t}{{4+{t^2}}}）$，
過定點C（1，0），因為${k_{NC}}=\frac{{\frac{24t}{{36+{t^2}}}}}{{\frac{{72-2{t^2}}}{{36+{t^2}}}-1}}=\frac{8t}{{12-{t^2}}}$，
${k_{MC}}=\frac{{\frac{-8t}{{4+{t^2}}}}}{{\frac{{2{t^2}-8}}{{4+{t^2}}}-1}}=\frac{-8t}{{{t^2}-12}}$，
所以k_NC=k_MC，
所以M，N，C三點共線，
所以直線MN恒過定點C（1，0）．

點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題，也考查了直線過定點的判斷問題，考查了數(shù)形結合思想的應用問題，是綜合性題目．