Question

8．如圖1，矩形ABCD中，|AB|=6，|BC|=2，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF、EG所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，已知$\overrightarrow{OR}$=λ$\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{CR′}$=λ$\overrightarrow{CF}$，其中0＜λ＜1
（1）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1上．
（2）如圖2過點E作兩條相互垂直的直線分別交橢圓Γ于點P，N（點P在y軸右側）．求△EPN面積最大值及此時直線PE的方程．

Answer 1

分析 （1）求得F，C的坐標，由向量的關系的坐標表示可得R，R'的坐標，求出直線ER和GR'的方程，求得交點M，檢驗即可得證；
（2）由題意知直線PE，NE的斜率存在且不為0，PE⊥NE，不妨設直線PE的斜率為k（k＞0），則直線PE的方程為y=kx-1，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，可得P的坐標，同樣可得N的坐標，由兩點的距離公式和面積公式，化簡整理，結合基本不等式計算即可得到最大值，進而得到所求直線方程．

解答 （1）證明：由已知，得F（3，0），C（3，1），
由$\overrightarrow{OR}$=λ$\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{CR′}$=λ$\overrightarrow{CF}$，其中0＜λ＜1
得R（3λ，0），R′（3，1-λ），又E（0，-1），G（0，1），
則直線ER的方程為y=$\frac{1}{3λ}$x-1，直線GR′的方程為y=-$\frac{λ}{3}$x+1，
聯(lián)立解得M（$\frac{6λ}{1+{λ}^{2}}$，$\frac{1-{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}}$），
因為$\frac{1}{9}$（（$\frac{6λ}{1+{λ}^{2}}$）2+（$\frac{1-{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}}$）2=$\frac{4{λ}^{2}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$+$\frac{1-2{λ}^{2}+{λ}^{4}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$=1，
所以直線ER與CR′的交點M在Γ：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1上；
（2）解：由題意知直線PE，NE的斜率存在且不為0，PE⊥NE，
不妨設直線PE的斜率為k（k＞0），則直線PE的方程為y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18k}{1+9{k}^{2}}}\\{y=\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以P（$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}$），
用-$\frac{1}{k}$代k得到N（$\frac{-18k}{9+{k}^{2}}$，$\frac{9-{k}^{2}}{9+{k}^{2}}$），
所以|PE|=$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$，|NE|=$\frac{18}{9+{k}^{2}}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
S_△EPN=$\frac{1}{2}$|PE|•|NE|=$\frac{1}{2}$•$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{18}{9+{k}^{2}}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$
=$\frac{162k（1+{k}^{2}）}{（9+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}$=$\frac{162（k+{k}^{3}）}{9{k}^{4}+82{k}^{2}+9}$=$\frac{162（k+\frac{1}{k}）}{9{k}^{2}+82+\frac{9}{{k}^{2}}}$
設u=k+$\frac{1}{k}$，$\frac{162u}{82+9（{u}^{2}-2）}$=$\frac{162}{9u+\frac{64}{u}}$≤$\frac{162}{2\sqrt{9u•\frac{64}{u}}}$=$\frac{27}{8}$
當且僅當k+$\frac{1}{k}$=u=$\frac{8}{3}$，
即k=$\frac{4±\sqrt{7}}{3}$，
故PE的直線方程為y=$\frac{4±\sqrt{7}}{3}$x-1．

點評 本題考查直線的交點的軌跡方程，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，求得交點，考查兩點的距離公式和基本不等式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．