Question

5．已知x=1是$f（x）=x+\frac{x}+lnx$的一個極值點．
（1）求b的值；
（2）設函數(shù)$h（x）=f（x）-\frac{2+a}{x}$，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]內單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，得到f′（1）=1-b+1=0，解出即可；（2）求出h（x）的表達式，問題轉化為a≥-（x²+x）在[1，2]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{x}+lnx$，（x＞0），
∴f′（x）=1-$\frac{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∵x=1是$f（x）=x+\frac{x}+lnx$的一個極值點，
∴f′（1）=1-b+1=0，解得：b=2；
（2）由（1）得：f（x）=x+$\frac{2}{x}$+lnx，
∴$h（x）=f（x）-\frac{2+a}{x}$=x+lnx-$\frac{a}{x}$，
h′（x）=1+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$，
若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]內單調遞增，
則x²+x+a≥0在[1，2]恒成立，
故a≥-（x²+x）在[1，2]恒成立，
令m（x）=-（x²+x），x∈[1，2]，
m′（x）=-2x-1＜0，m（x）在[1，2]遞減，
∴m（x）_max=m（1）=-2，
故a≥-2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分離參數(shù)法求函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．