Question

9．雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且一個(gè)頂點(diǎn)是函數(shù)y=lnx在（1，0）處的切線與y軸交點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²-x²=1．

Answer 1

分析 求出切線方程，求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用離心率轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：函數(shù)y=lnx可得y′=$\frac{1}{x}$，在（1，0）處的切線的斜率為1，切線方程為：y=x-1，與y軸交點(diǎn)（0，-1），
雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為$\sqrt{2}$，
由題意一個(gè)頂點(diǎn)是函數(shù)y=lnx在（1，0）處的切線與y軸交點(diǎn)可得a=1，c=$\sqrt{2}$，則b=1，
所求的雙曲線方程為：y²-x²=1．
故答案為：y²-x²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．