【題目】如圖,長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E是線段AB中點(diǎn).
(1)證明:D1E⊥CE;
(2)求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值;
(3)求A點(diǎn)到平面CD1E的距離.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】
(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理,證明CE⊥面D1DE即可證明:D1E⊥CE;
(2)建立坐標(biāo)系,利用向量法即可求二面角D1﹣EC﹣D的大小的余弦值;
(3)根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式,即可求A點(diǎn)到平面CD1E的距離.
(1)證明:DD1⊥面ABCD,CE面ABCD;
所以DD1⊥CE,
Rt△DAE中,AD=1,AE=1,
DE,
同理:CE,又CD=2,CD2=CE2+DE2,
DE⊥CE,
DE∩CE=E,
所以,CE⊥面D1DE,
又D1E面D1EC,
所以,D1E⊥CE;
(2)設(shè)平面CD1E的法向量為(x,y,z),
由(1)得(1,1,﹣1),(1,﹣1,0)
x+y﹣1=0,x﹣y=0
解得:x=y,即(,,1);
又平面CDE的法向量為(0,0,1),
∴cos,span>,
所以,二面角D1﹣EC﹣D的余弦值為;
(3)由(1)(2)知(0,1,0),平面CD1E的法向量為(,,1);
故A點(diǎn)到平面CD1E的距離為d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
令其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
當(dāng)時(shí),令若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市有兩家共享單車公司,在市場(chǎng)上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的單車,已知黃、藍(lán)兩種顏色的單車的投放比例為2:1.監(jiān)管部門為了了解兩種顏色的單車的質(zhì)量,決定從市場(chǎng)中隨機(jī)抽取5輛單車進(jìn)行體驗(yàn),若每輛單車被抽取的可能性相同.
(1)求抽取的5輛單車中有2輛是藍(lán)色顏色單車的概率;
(2)在騎行體驗(yàn)過程中,發(fā)現(xiàn)藍(lán)色單車存在一定質(zhì)量問題,監(jiān)管部門決定從市場(chǎng)中隨機(jī)地抽取一輛送技術(shù)部門作進(jìn)一步抽樣檢測(cè),并規(guī)定若抽到的是藍(lán)色單車,則抽樣結(jié)束,若抽取的是黃色單車,則將其放回市場(chǎng)中,并繼續(xù)從市場(chǎng)中隨機(jī)地抽取下一輛單車,并規(guī)定抽樣的次數(shù)最多不超過()次.在抽樣結(jié)束時(shí),已取到的黃色單車以表示,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、是異面直線,給出下列結(jié)論:
①一定存在平面,使直線平面,直線平面;
②一定存在平面,使直線平面,直線平面;
③一定存在無數(shù)個(gè)平面,使直線與平面交于一個(gè)定點(diǎn),且直線平面.
則所有正確結(jié)論的序號(hào)為( )
A.①②B.②C.②③D.③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(1)當(dāng)時(shí),寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)為偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過作垂直于軸的直線交該橢圓于,兩點(diǎn),直線的斜率為.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若的外接圓在處的切線與橢圓交另一點(diǎn)于,且的面積為,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】保護(hù)環(huán)境,防治環(huán)境污染越來越得到人們的重視,某企業(yè)在現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本(單位:萬元)與日產(chǎn)量(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系式為.現(xiàn)為了減少大氣污染,該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備,每噸產(chǎn)品除塵費(fèi)用為萬元,除塵后,當(dāng)日產(chǎn)量時(shí),每日生產(chǎn)總成本.
(1)求的值;
(2)若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為48萬元,試求除塵后日產(chǎn)量為多少噸時(shí),每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖,已知四棱錐,底面為菱形,,
, 平面, 分別是的中點(diǎn)。
(1)證明: ;
(2)若為上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成最大角
的正切值為,求二面角的余弦值。
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