Question

12．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，并且對(duì)任意n∈N₊，都有a_n＞0．設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，若以（a_n，S_n）（n∈N₊）為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線y=$\frac{x（x+1）}{2}$上運(yùn)動(dòng)，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n．

Answer 1

分析 運(yùn)用函數(shù)性得出2S_n=a_n²+a_n，2S_n-1=²+a_n-1，相減得出，
分解因式：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，得出a_n-a_n-1=1，n≥2，
判斷等差數(shù)列，運(yùn)用性質(zhì)求解即可．

解答 解：根據(jù)題意得出：S_n=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}{2}$，
2S_n=a_n²+a_n，
2S_n-1=²+a_n-1，
相減得出：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵對(duì)任意n∈N₊，都有a_n＞0
∴∴數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為1，
即運(yùn)用通項(xiàng)公式得出：a_n=n，
故答案為：a_n=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列在函數(shù)中的應(yīng)用，根據(jù)S_n與a_n關(guān)系求解，分解因式等方法求解方程的根，屬于中檔題．