Question

17．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，若g（x）=f（x）-x-b有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值集合．

Answer 1

分析 由題意，畫出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合找出f（x）與函數(shù)y=x+b有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)b的求值．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，
所以函數(shù)f（x）的圖象如圖
g（x）=f（x）-x-b有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)f（x）與函數(shù)y=x+b有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線y=x+b與函數(shù)f（x）圖象相切時(shí)即${x}^{\frac{1}{2}}$=x+b有相等實(shí)根，所以b=$\frac{1}{4}$，
所以g（x）=f（x）-x-b有三個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)b滿足$\frac{-1}{4}+4k＜b＜\frac{1}{4}+4k，k∈Z$，b的集合為{$-\frac{1}{4}+4k，\frac{1}{4}+4k$}，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．