Question

2．在ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c．
（1）若sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，求A的值；
（2）cosA=$\frac{1}{3}$，b=3c，求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）利用余弦定理結(jié)合直角三角形的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）∵sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=2cosA，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\frac{3}{2}$cosA，
即tanA=$\sqrt{3}$，
則△ABC中，A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即a²=9c²+c²-2×3c²×$\frac{1}{3}$=8c²，
∴b²=9c²=8c²+c²=a²+c²，
即∠B是直角，
即△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用兩角和差的正弦公式以及余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．