Question

14．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），向量$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）．
（1）若x∈R，求f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的單調(diào)增區(qū)間
（2）若g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值是-$\frac{3}{2}$，其中λ＞0．x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模的公式，結(jié)合二倍角的余弦公式化簡f（x），再由余弦函數(shù)的圖象可得增區(qū)間；
（2）求得g（x）的解析式，令t=cosx（0≤t≤1），即有g(shù)（t）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），向量$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）．
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos$\frac{3}{2}$xcos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}$xsin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{3x}{2}+si{n}^{2}\frac{3x}{2}}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{x}{2}+si{n}^{2}\frac{x}{2}}$=1，
f（x）=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{1+1+2cos2x}$=$\sqrt{2×2co{s}^{2}x}$=2|cosx|，
由y=|cosx|的圖象可得f（x）的增區(qū)間為（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ），k∈Z；
（2）g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos2x-4λ|cosx|=2cos²x-1-4λ|cosx|，
令t=cosx（0≤t≤1），即有g(shù)（t）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，
當(dāng)λ＞1時，區(qū)間[0，1]為減區(qū)間，即有t=1時，取得最小值，
且為1-4λ=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{5}{8}$＜1，不成立；
當(dāng)0＜λ≤1時，區(qū)間[0，λ]為減區(qū)間，[λ，1]為增區(qū)間，
即有t=λ時，取得最小值，
且為-1-2λ²=-$\frac{3}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
綜上可得λ=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模的公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運(yùn)用換元法，化為二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．