Question

7．已知△ABC的面積為S，且2S=$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$．
（1）求角A的大小；
（2）若S=1，BC=$\sqrt{5}$，求△ABC的最短邊的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用進行求解即可．
（2）利用三角形的面積以及余弦定理建立方程關(guān)系進行求解，比較大小即可．

解答 解：（1）設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
因為2S=$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$．即2×$\frac{1}{2}$acsinB=c²-accosB，…2分
由正弦定理化得sinAsinBsinC=sin²C-sinAcosBsinC，
三角形中sinC=sin（A+B）＞0，即有sinAsinB=sin（A+B）-sinAcosB，…4分
亦即sinAsinB=cosAsinB，由sinB＞0，得tanA=1，
因為A∈（0，π），即A=$\frac{π}{4}$．…7分
（2）因為a=$\sqrt{5}$，S=1，所以bcsinA=1，即bc=2，…9分
由余弦定理得a²= b²+ c²-2bccosA，得b²+c²=9． …11分
由$\left\{\begin{array}{l}{bc=2\sqrt{2}}\\{^{2}+{c}^{2}=9}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，…13分
所以最短邊的長為1．

點評 本題主要考查解三角形的應(yīng)用以及數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．