Question

12．已知函數(shù)f（x）=3tanωx+1，若對任意x₁，x₂∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$）且x₁≠x₂，均有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立．則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$≤ω≤$\frac{3}{2}$
• B． -$\frac{3}{2}$≤ω≤0
• C． -2≤ω＜0
• D． -2≤ω≤2

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出函數(shù)f（x）在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$）上是單調(diào)減函數(shù)，即ω＜0且周期T≥$\frac{2π}{3}$，求出ω的值即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=3tanωx+1，且對任意x₁，x₂∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，均有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，
∴f（x）在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$）上是單調(diào)減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)減函數(shù)，且ω＜0；
∴周期T=$\frac{π}{-ω}$≥$\frac{2π}{3}$，∴ω≥-$\frac{3}{2}$；
綜上，實(shí)數(shù)ω的取值范圍是-$\frac{3}{2}$≤ω＜0．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．