Question

8．已知f₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的導(dǎo)函數(shù)，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f${\;}_{n}^{′}$（x），n∈N^*，則f₁（x）+f₂（x）+…+f₂₀₁₅（x）=（　�。�

• A． -sinx+cosx
• B． sinx-cosx
• C． -sinx-cosx
• D． sinx+cosx

Answer 1

分析 由已知分別求出f（x）的前幾個(gè)導(dǎo)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到所求．

解答 解：因?yàn)閒₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的導(dǎo)函數(shù)，
所以f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=sinx+cosx，…，
由此發(fā)現(xiàn)f_n+1（x）是f_n（x）的導(dǎo)函數(shù)，并且周期為4，每個(gè)周期的和為0，
所以f₁（x）+f₂（x）+…+f₂₀₁₅（x）=f₁（x）+f₂（x）+f_，3（x）=cosx-sinx；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的求導(dǎo)，考查學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、歸納總結(jié)的能力．