Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sin²x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式即可得解．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x的范圍，再由x∈[0，π]，進(jìn)一步確定x的范圍，即可求得函數(shù)在[0，π]上單增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sin²x+1
=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即　kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
當(dāng)k=0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5π}{12}≤x≤\frac{π}{12}}\\{0≤x≤π}\end{array}\right.$，解得0≤x≤$\frac{π}{12}$．
當(dāng)k=1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7π}{12}≤x≤\frac{13π}{12}}\\{0≤x≤π}\end{array}\right.$，解得$\frac{7π}{12}$≤x≤π，
所以，函數(shù)在[0，π]上單增區(qū)間是[0，$\frac{π}{12}$]，[$\frac{7π}{12}$，π]．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．