Question

18．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側的兩點，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．
（Ⅰ）證明：平面AEC丄平面AFC
（Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，設BD∩AC=G，連接EG、EF、FG，運用線面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；
（Ⅱ）以G為坐標原點，分別以GB，GC為x軸，y軸，|GB|為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz，求得A，E，F(xiàn)，C的坐標，運用向量的數(shù)量積的定義，計算即可得到所求角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）連接BD，
設BD∩AC=G，
連接EG、EF、FG，
在菱形ABCD中，
不妨設BG=1，
由∠ABC=120°，
可得AG=GC=$\sqrt{3}$，
BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，
可知AE=EC，又AE⊥EC，
所以EG=$\sqrt{3}$，且EG⊥AC，
在直角△EBG中，可得BE=$\sqrt{2}$，故DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在直角三角形FDG中，可得FG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=$\sqrt{2}$，F(xiàn)D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得EF=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
從而EG²+FG²=EF²，則EG⊥FG，
（或由tan∠EGB•tan∠FGD=$\frac{EB}{BG}$•$\frac{FD}{DG}$=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
可得∠EGB+∠FGD=90°，則EG⊥FG）
AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，
由EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）如圖，以G為坐標原點，分別以GB，GC為x軸，y軸，|GB|為單位長度，
建立空間直角坐標系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，-$\sqrt{3}$，0），E（1，0，$\sqrt{2}$），
F（-1，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（0，$\sqrt{3}$，0），
即有$\overrightarrow{AE}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（-1，-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{CF}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-1-3+1}{\sqrt{6}×\sqrt{\frac{9}{2}}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
則有直線AE與直線CF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查空間直線和平面的位置關系和空間角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和異面直線所成的角的求法：向量法，考查運算能力，屬于中檔題．