Question

3．a(chǎn)為實數(shù)，函數(shù)f（x）=|x²-ax|在區(qū)間[0，1]上的最大值記為g（a）．當(dāng)a=2$\sqrt{2}$-2時，g（a）的值最�。�

Answer 1

分析 通過分a≤0、0＜a≤2$\sqrt{2}$-2、a＞2$\sqrt{2}$-2三種情況去函數(shù)f（x）表達式中絕對值符號，利用函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 解：對函數(shù)f（x）=|x²-ax|=|（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$|分下面幾種情況討論：
①當(dāng)a≤0時，f（x）=x²-ax在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=g（1）=1-a；
②當(dāng)0＜a≤2$\sqrt{2}$-2時，$f（\frac{a}{2}）$=$|（\frac{a}{2}）^{2}-a×\frac{a}{2}|$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
∵$\frac{{a}^{2}}{4}$-（1-a）=$\frac{（a+2）^{2}}{4}$-2＜0，
∴f（x）_max=g（1）=1-a；
③當(dāng)2$\sqrt{2}$-2＜a≤1時，f（x）_max=g（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a＜2\sqrt{2}-2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，2\sqrt{2}-2＜a≤1}\end{array}\right.$，
∴g（a）在（-∞，$2\sqrt{2}-2$]上單調(diào)遞減，在[$2\sqrt{2}-2$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（a）_min=g（$2\sqrt{2}-2$）；
④當(dāng)1＜a＜2時，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
⑤當(dāng)a≥2時，g（a）=f（1）=a-1；
綜上，當(dāng)a=$2\sqrt{2}-2$時，g（a）_min=3-2$\sqrt{2}$，
故答案為：$2\sqrt{2}-2$．

點評 本題考查求函數(shù)的最值，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．