Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)（是常數(shù)）．

（1）設(shè)，、是函數(shù)的極值點(diǎn)，試證明曲線關(guān)于點(diǎn)對稱；

（2）是否存在常數(shù)，使得，恒成立？若存在，求常數(shù)的值或取值范圍；若不存在，請說明理由．

（注：，對于曲線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則在曲線上．）

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）首先由題意求得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，經(jīng)過計算，點(diǎn)在曲線上，所以，曲線關(guān)于點(diǎn)對稱

（2）由題即，，時，不等式恒成立；

時，不等式等價于，構(gòu)造函數(shù)，

求導(dǎo)討論，在的單調(diào)性，進(jìn)而求出在上這兩個函數(shù)的最值，即為的取值范圍。

試題解析：（1），

解得，，

即

曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為

直接計算知，，點(diǎn)在曲線上，所以，曲線關(guān)于點(diǎn)對稱

（2）即，

時，不等式恒成立；

時，不等式等價于

作，，，，解、得、

	－	＋	0	－
	↘	↗	極大值	↘
	＋	－	－	－
	↗	↘		↘

，，在的最大值為；，，在的最小值為

綜上所述，的取值范圍為

考點(diǎn)：曲線關(guān)于點(diǎn)對稱問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；