Question

7．某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，在2011年至2015年所獲利潤（單位：十萬元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份	2011	2012	2013	2014	2015
年份代號t	1	2	3	4	5
利潤y	5.8	6.6	7.1	7.4	8.1

（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2011年至2015年該企業(yè)所獲利潤的變化情況，并預(yù)測該企業(yè)在2016年的所獲利潤．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（Ⅱ）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=6代入線性回歸方程，預(yù)測該企業(yè)在2016年的所獲利潤．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5）=3，…．（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（5.8+6.6+7.1+7.4+8.1）=7，…．（2分）
$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55，…（3分）
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=1×5.8+2×6.6+3×7.1+4×7.4+5×8.1=110.4，…．（5分）
∴b=$\frac{110.4-5×3×7}{55-5×{3}^{2}}$=0.54…．（7分）
a=7-3×0.54=5.38…（8分）
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為；y=0.54x+5.38…．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的回歸方程y=0.54x+5.38，可知b=0.54，
從2011年至2015年該企業(yè)所獲利潤逐年增加，平均每年增加0.54十萬元；   …．（10分）
將2015年的年份代號x=6代入（Ⅰ）中的回歸方程得y=8.62十萬元
故該企業(yè)在2016年的所獲利潤為8.62十萬元．…．（13分）

點評 本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，是一個中檔題，解題時運算量比較大，注意利用公式求系數(shù)時，不要在運算上出錯．屬于中檔題．