Question

17．函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{2x-1}}}{x}$的定義域?yàn)閇$\frac{1}{2}$，+∞），值域?yàn)閇0，1]．

Answer 1

分析 要使得f（x）有意義，則有$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$，這樣即可得出f（x）的定義域；可令$\sqrt{2x-1}=t$，從而得到$x=\frac{{t}^{2}+1}{2}$，t≥0，從而有$y=\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，可討論t：t=0時(shí)，y=0，而t＞0時(shí)，有$y=\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$，這樣根據(jù)基本不等式便可求出y的范圍，從而得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：解$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$得，$x≥\frac{1}{2}$；
∴f（x）的定義域?yàn)?[\frac{1}{2}，+∞）$；
令$\sqrt{2x-1}=t$，t≥0，∴$x=\frac{{t}^{2}+1}{2}$，設(shè)y=f（x），則：
$y=\frac{2t}{{t}^{2}+1}$；
①若t=0，y=0；
②若t＞0，則$y=\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$；
$t+\frac{1}{t}≥2$，t=1時(shí)取“=”；
∴0＜y≤1；
∴0≤y≤1；
∴f（x）的值域?yàn)閇0，1]．
故答案為：$[\frac{1}{2}，+∞），[0，1]$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域、值域的概念及求法，換元法求函數(shù)的值域，以及基本不等式的運(yùn)用．