Question

18．已知方程$\frac{1}{2}$x²=|2x+a|有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2＜a＜2且a≠0．

Answer 1

分析 ①當(dāng)x≥-$\frac{a}{2}$時(shí)，方程可化為x²-4x-2a=0，從而可判斷x²-4x-2a=0在[-$\frac{a}{2}$，+∞）上有兩個(gè)不同的解，②當(dāng)x＜-$\frac{a}{2}$時(shí)，方程可化為x²+4x+2a=0，從而討論確定方程在
（-∞，-$\frac{a}{2}$）上解的個(gè)數(shù)，從而確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)x≥-$\frac{a}{2}$時(shí)，
方程$\frac{1}{2}$x²=|2x+a|可化為x²-4x-2a=0，
當(dāng)△=16+8a＞0，即a＞-2時(shí)，
x²-4x-2a=0在R上有兩個(gè)不同的解，
又∵對(duì)稱軸在區(qū)間（-$\frac{a}{2}$，+∞）上，
且$\frac{{a}^{2}}{4}$-2（2（-$\frac{a}{2}$）+a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，
∴x²-4x-2a=0在[-$\frac{a}{2}$，+∞）上有兩個(gè)不同的解，
②當(dāng)x＜-$\frac{a}{2}$時(shí)，
方程$\frac{1}{2}$x²=|2x+a|可化為x²+4x+2a=0，
當(dāng)△=16-8a＞0，即a＜2時(shí)，
x²+4x+2a=0在R上有兩個(gè)不同的解，
又∵對(duì)稱軸在區(qū)間（-∞，-$\frac{a}{2}$）上，
且$\frac{{a}^{2}}{4}$-2（2（-$\frac{a}{2}$）+a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，
當(dāng)a≠0時(shí)，x²-4x-2a=0在（-∞，-$\frac{a}{2}$）上有兩個(gè)不同的解，
當(dāng)a=0時(shí)，x²-4x-2a=0在（-∞，-$\frac{a}{2}$）上只有一個(gè)解，
綜上所述，方程$\frac{1}{2}$x²=|2x+a|有四個(gè)不同的解時(shí)，
-2＜a＜2且a≠0．
故答案為：-2＜a＜2且a≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及絕對(duì)值方程的解法與應(yīng)用．