Question

5．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，a₁b₁=3，且對任意的n∈N⁺，都有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{（2n-1）{3}^{n+1}+3}{4}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_nb_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的首項為3，公比為3，設(shè)c_n=b_n+（-1）^n-1λ•2^a_n+1，且對任意的n∈N⁺，都有c_n+1＞c_n成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用遞推式可得a_nb_n；
（II）數(shù)列{b_n}的首項為3，公比為3，可得b_n．又a_nb_n=n•3ⁿ（n∈N^*）．k可得a_n，可得c_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，由于對任意的n∈N⁺，都有c_n+1＞c_n成立，化簡得（-1）^n-1•λ$＜\frac{1}{3}•（\frac{3}{2}）^{n}$，對n分類討論即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵對任意的n∈N⁺，都有a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{（2n-1）{3}^{n+1}+3}{4}$．
∴當(dāng)n≥2時，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{（2n-3）{3}^{n}+3}{4}$．
兩式相減，得a_nb_n=n•3ⁿ（n≥2），
又當(dāng)n=1時，a₁b₁=3，適合上式，
從而得a_nb_n=n•3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}的首項為3，公比為3，
∴$_{n}={3}^{n}$．
又a_nb_n=n•3ⁿ（n∈N^*）．
因此a_n=n，
∴c_n=b_n+（-1）^n-1λ•2^a_n+1=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
∵對任意的n∈N⁺，都有c_n+1＞c_n成立，
∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•2ⁿ⁺²＞3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
化簡得（-1）^n-1•λ$＜\frac{1}{3}•（\frac{3}{2}）^{n}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，λ$＜\frac{1}{3}•（\frac{3}{2}）^{n}$恒成立，∴$λ＞\frac{1}{3}•（\frac{3}{2}）^{1}$，即$λ＜\frac{1}{2}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，$λ＞（-\frac{1}{3}）•（\frac{3}{2}）^{n}$恒成立，
∴$λ＞（-\frac{1}{3}）•（\frac{3}{2}）^{2}$=-$\frac{3}{4}$，即$λ＞-\frac{3}{4}$，
綜合可得：λ∈$（-\frac{3}{4}，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了變形能力與分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．