Question

9．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，x＞2\\-{x^2}+2x-2，x≤2\end{array}\right.$（a＞0，a≠1）的值域是（-∞，-1]，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）在（-∞，2]的最大值，從而判斷出a的范圍即可．

解答 解：x≤2時：f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
對稱軸x=1，f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，2]遞減；
∴f（x）的最大值是-1，而f（x）的值域是（-∞，-1]，
故0＜a＜1，
∴${log}_{a}^{2}$≤-1，解得：a≥$\frac{1}{2}$，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查了分段函數(shù)問題，考查二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．