Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$ （α為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρ（cosθ-sinθ）+1=0
（1）寫出曲線C的和直線l的普通方程；
（2）若l與x軸的交點為P，與曲線C的交點為A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系消元得出曲線C的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系得出直線l的普通方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義得出．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，∴cosα=$\frac{x}{2}$，sinα=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∵ρ（cosθ-sinθ）+1=0，即ρcosθ-ρsinθ+1=0，
∴直線l的普通方程為x-y+1=0．
（2）直線l的斜率為1，傾斜角為45°，直線l與x軸交于點P（-1，0），
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得7t²-6$\sqrt{2}t$-18=0，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{18}{7}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．