Question

3．某市春節(jié)7家超市的廣告費(fèi)支出x（萬(wàn)元）和銷(xiāo)售額y（萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下，

超市	A	B	C	D	E	F	G
廣告費(fèi)支出x	1	2	4	6	11	13	19
銷(xiāo)售額y	19	32	40	44	52	53	54

（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)．用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$
（2）用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程：$\widehat{y}$=-0.17x²+5x+20．
經(jīng)計(jì)算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R²分別約為0.93和0.75，請(qǐng)用R²說(shuō)明選擇哪個(gè)回歸模型更合適．并用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出為3萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額，
參考數(shù)據(jù)及公式：$\overline{x}$=8，$\overline{y}$=42.$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=2794，$\sum_{i=1}^{7}$x${\;}_{i}^{2}$=708，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$x．

Answer 1

分析 （1）由題意求出回歸系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，寫(xiě)出線性回歸方程；
（2）根據(jù)線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)判斷用二次函數(shù)回歸模型更合適，
計(jì)算x=3時(shí)$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）由題意，n=7，$\overline{x}$=8，$\overline{y}$=42，$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=2794，$\sum_{i=1}^{7}$x${\;}_{i}^{2}$=708，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{2794-7×8×42}{708-7{×8}^{2}}$=1.7，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=42-1.7×8=28.4，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程是$\widehat{y}$=1.7x+28.4；
（2）∵線性回歸模型的R²：0.75＜0.93，
∴用二次函數(shù)回歸模型擬合更合適，
當(dāng)x=3時(shí)，得$\widehat{y}$=-0.17×3²+5×3+20=33.47，
預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出為3萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為33.47萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．