Question

3．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，橢圓C的右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，橢圓C的下頂點(diǎn)為D．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)D點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)P、M．求證：直線PM經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c²=$\frac{8}{9}$a²，又$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，且a²=b²+c²，解得b=1，則a=3，即可得解橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線PD的斜率為k，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得P（$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}$），M（$\frac{-18k}{{k}^{2}+9}$，$\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}$），作直線l關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)直線l′，可知定點(diǎn)在y軸上，當(dāng)k=1時(shí)，P（$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$），M（-$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$），可求此時(shí)直線PM經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)T（0，$\frac{4}{5}$），證明k_PT=k_MT，即可得解P，M，T三點(diǎn)共線，即直線PM經(jīng)過(guò)點(diǎn)T．

解答 解：（1）依題意知 e=$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則c²=$\frac{8}{9}$a²，…（2分）
又$\frac{{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，且a²=b²+c²，
∴b=1，則a=3，
∴方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1．…（5分）
（2）由題意知直線PD，MD的斜率存在且不為0，設(shè)直線PD的斜率為k，則PD：y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得P（$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}$），…（7分）
用-$\frac{1}{k}$去代k，得M（$\frac{-18k}{{k}^{2}+9}$，$\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}$），…（9分）
作直線l關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)直線l′，此時(shí)得到的點(diǎn)P′、M′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
則PM與P′M′相交于y軸，可知定點(diǎn)在y軸上，當(dāng)k=1時(shí)，P（$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$），M（-$\frac{9}{5}$，$\frac{4}{5}$），
此時(shí)直線PM經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)T（0，$\frac{4}{5}$），…（10分）
∵k_PT=$\frac{\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}-\frac{4}{5}}{\frac{18k}{9{k}^{2}+1}}=\frac{{k}^{2}-1}{10k}$，…（12分）
k_MT=$\frac{\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}-\frac{4}{5}}{-\frac{18k}{{k}^{2}+9}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$ …（14分）
∴k_PT=k_MT，
∴P，M，T三點(diǎn)共線，即直線PM經(jīng)過(guò)點(diǎn)T，
故直線PM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)T（0，$\frac{4}{5}$）．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否過(guò)定點(diǎn)的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．