Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx-kx+$\frac{1}{x}$（k為常數(shù)）．
（1）當k=0時，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）若k≠0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出；
（2）先求導，分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）當k=0時，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，
$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$．
函數(shù)$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$的定義域是（0，+∞）．
令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2}$；令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$在區(qū)間$（{0，\frac{1}{2}}）$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的最小值為$f（{\frac{1}{2}}）=2ln\frac{1}{2}+\frac{1}{{\frac{1}{2}}}=-2ln2+2$，無最大值．
（2）函數(shù)$f（x）=2lnx-kx+\frac{1}{x}$的定義域是（0，+∞）．
$f'（x）=\frac{2}{x}-k-\frac{1}{x^2}=\frac{{-k{x^2}+2x-1}}{x^2}$，
令t（x）=-kx²+2x-1，△=4-4k，
①當0＜k＜1時，△＞0，函數(shù)t（x）=-kx²+2x-1有兩個零點${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-k}}}{-k}$=$\frac{{1+\sqrt{1-k}}}{k}＞0$，${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-k}}}{-k}$=$\frac{{1-\sqrt{1-k}}}{k}＞0$，且x₁＞x₂＞0，
則f'（x）=0的兩根為x₁，x₂．
令f'（x）＞0，得x₂＜x＜x₁；
令f'（x）＜0，得0＜x＜x₂或x＞x₁，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間 （$\frac{{1-\sqrt{1-k}}}{k}$，$\frac{{1+\sqrt{1-k}}}{k}$）上單調(diào)遞增，
在區(qū)間 （0，$\frac{{1-\sqrt{1-k}}}{k}$），（$\frac{{1+\sqrt{1-k}}}{k}，+∞$）上單調(diào)遞減；  
②當k≥1時，△≤0，t（x）=-kx²+2x-1≤0，f'（x）≤0，且不恒為0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
③當k＜0時，△＞0，
函數(shù)t（x）=-kx²+2x-1有兩個零點${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1-k}}}{-k}$=$\frac{{1+\sqrt{1-k}}}{k}＜0$（舍去），${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1-k}}}{-k}$=$\frac{{1-\sqrt{1-k}}}{k}＞0$，
則f'（x）=0的兩根為x₁，x₂．
令f'（x）＞0，得x＞x₂；
令f'（x）＜0，得0＜x＜x₂，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{{1-\sqrt{1-k}}}{k}$）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{{1-\sqrt{1-k}}}{k}，+∞$）上單調(diào)遞增

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及存在性命題的判斷，以及分類討論的思想，屬于中檔題．