Question

已知函數(shù)f（x）=cos（x-

π

2

），g（x）=e^x•f′（x），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求曲線y=g（x）在點(diǎn)（0，g（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意x∈[-

π

2

，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）試探究當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時，方程g（x）=x•f（x）的解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡f（x）=sinx，g（x）=e^xcosx，g（0）=e⁰cos0=1；從而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程；
（Ⅱ）對任意x∈[-

π

2

，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立可化為m≤[g（x）-x•f（x）]_min，x∈[-

π

2

，0]，從而設(shè)h（x）=g（x）-x•f（x），x∈[-

π

2

，0]，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．
（Ⅲ）設(shè)H（x）=g（x）-x•f（x），x∈[

π

4

，

π

2

]；從而由函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求解函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，
f（x）=sinx，g（x）=e^xcosx，g（0）=e⁰cos0=1；
g′（x）=e^x（cosx-sinx），g′（0）=1；
故曲線y=g（x）在點(diǎn)（0，g（0））處的切線方程為y=x+1；

（Ⅱ）對任意x∈[-

π

2

，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立可化為
m≤[g（x）-x•f（x）]_min，x∈[-

π

2

，0]，
設(shè)h（x）=g（x）-x•f（x），x∈[-

π

2

，0]，
則h′（x）=e^x（cosx-sinx）-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx，
∵x∈[-

π

2

，0]，
∴（e^x-x）cosx≥0，（e^x+1）sinx≤0；
故h′（x）≥0，
故h（x）在[-

π

2

，0]上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=-

π

2

時，h_min（x）=h（-

π

2

）=-

π

2

；
故m≤-

π

2

；

（Ⅲ）設(shè)H（x）=g（x）-x•f（x），x∈[

π

4

，

π

2

]；
則當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時，
H′（x）=e^x（cosx-sinx）-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx＜0，
故H（x）在[

π

4

，

π

2

]上單調(diào)遞減，
故函數(shù)H（x）在[

π

4

，

π

2

]上至多有一個零點(diǎn)；
又H（

π

4

）=

2

2

（e

π

4

-

π

4

）＞0，
H（

π

2

）=-

π

2

＜0；
且H（x）在[

π

4

，

π

2

]上是連續(xù)不斷的，
故函數(shù)H（x）在[

π

4

，

π

2

]上有且只有一個零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了恒成立問題及函數(shù)的最值問題，還考查了零點(diǎn)的個數(shù)的判斷，屬于難題．