Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且經(jīng)過點（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），過橢圓的左頂點A作直線l⊥x軸，點M為直線l上的動點（點M與點A在不重合），點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于點P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：AP⊥OM；
（3）試問$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且經(jīng)過點（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a，c，b，即可得出橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線BM的斜率為k，直線BM的方程為：y=k（x-2），設(shè)P（x₁，y₂），與橢圓方程聯(lián)立可得（2k²+1）x²-4k²x+8k²-4=0，解得x₁，x₂．可得P坐標(biāo)，由y=k（x-2），令x=-2，解得M（-2，-4k），只要證明$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OM}$=0，即可得出$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{OM}$．
（3）利用數(shù)量積運算即可得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$是否為定值．

解答 （1）解：∵橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且經(jīng)過點（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$=b，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）證明：設(shè)直線BM的斜率為k，直線BM的方程為：y=k（x-2），設(shè)P（x₁，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為（2k²+1）x²-8k²x+8k²-4=0，
解得x₁=$\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，x₂=2．
∴y₁=k（x₁-2）=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$，
∴P$（\frac{4{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}）$，
由y=k（x-2），令x=-2，解得y=-4k，
∴M（-2，-4k），$\overrightarrow{OM}$=（-2，-4k），
又$\overrightarrow{AP}$=$（\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}）$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OM}$=$\frac{-16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}+\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=0，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{OM}$．
即AP⊥OM．
（3）$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$=$\frac{-8{k}^{2}+4}{2{k}^{2}+1}+\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{8{k}^{2}+4}{2{k}^{2}+1}$=4．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}$=4為定值．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到交點坐標(biāo)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．